Geometrinen lukujono? Auttakaa joku.

  • Viestiketjun aloittaja vierailija
  • Ensimmäinen viesti
Se ja sama vierailija
vierailija
"Geometrisen lukujonon ensimmäisen jäsenen arvo on 11 ja neljännen jäsenen 9. Määritä a2, a8 ja S20 kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella."

Geometrinen sarja on a_n = A*x^n eli vakio 'A' kertaa 'x' potenssiin 'n'. Ensin lasketaan potenssilasku ja vasta sitten kertolasku.

Nyt tehtävänannossa on kerrottu että a_1 = 11 ja a_4 = 9. Saadaan siis yhtälöt:

i) A*x^1 = 11
ii) A*x^4 = 9

Jaetaan nämä yhtälöt toisillaan eli lasketaan i) / ii).

A*x^1 / A*x^4 = 11 / 9

Jakolasku- ja kertolaskut voidaan tehdä missä järjestyksessä halutaan. Voidaan siis vaihtaa vasemman puolen tekijöiden järjestystä:

(A/A) * (x^1 / x^4) = 11/9

A/A = 1
x^1 / x^4 = (x/x) * x^3
x/x = 1

1/x^3 = 11/9

edelleen voidaan kertoa molemmat puolet x^3:lla jolloin tulee

1 = x^3 * 11/9

kerrotaan 9::llä ja jaetaan 11:llä

x^3 = 9/11

nyt otetaan kuutiojuuri luvusta 9/11

x = 0.93529786

Voidaan ratkaista A kun tiedetään että A*x = 11 => A = 11/x = 11.7609592

tarkistetaan että todellakin A*x^1 = A*x = 11 ja A*x^4 = 9

nyt voidaan laskea a_2 = A*x^2 = 10.288276469 sekä a_8 = A*x^8 = 6.8871933

S20 tarkoittaa lukujonon 20 ensimmäisen luvun summaa.

S20 = A*x^1 + A*x^2 + A*x^3 + ... + A*x^19 + A*x^20

Ei kannata laskea tätä suoraan laskimella, iso työ vaikka mahdollista niinkin. Otetaan ensin A*x yhteiseksi tekijäksi jolloin saadaan:

S20 = A*x*(x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^19)

merkitään T19 = x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^19 = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^19

tällöin jos kerrotaan molemmat puolet x:llä saadaan x*T19 = x + x^2 + x^3 + ... + x^20

Nyt lasketaan (x-1)*T19 = x*T19 - T19 jossa merkitään termit siten että aina vuorotellen on ensin x*T19:n termi ja vastaava T19:n term alkaen suuremmasta potenssista:

(x-1)*T19 = (x^20 - x^19) + (x^19 - x^18) + (x^18 - x^18) + ... + (x^2 - x) + (x - 1)

Ryhmitellään parit toisella tavalla:

(x-1)*T19 = x^20 + (x^19 - x^19) + (x^18 - x^18) + ... + (x - x) - 1

Eli x*T19:n termi yleensä kumoutuu vastaavalla T19:n termillä: x^19-x^19 = 0, jne. Vain ensimmäinen ja viimeinen termi jäävät jäljelle. Tarkkoina plus ja miinus merkkien kanssa. Saadaan:

(x-1)*T19 = x^20 - 1

Jaetaan molemmat puolet (x-1):llä ja lasketaan laskimella:

T19 = (x^20 - 1) / (x-1) = 11.39960552

Siten S20 = A*x*T19 = 125.3956607

Muistakaa sitten vielä pyöristää niin että jää kolme merkitsevää numeroa.
 

Yhteistyössä